回归均值Regression to the Mean

当表现夹杂随机波动时，极端成绩之后的平均表现会更接近常态。

一次差表现之后的进步，很容易被教练算在批评头上。20 世纪 60 年代中期，心理学家丹尼尔·卡尼曼在以色列给空军飞行教官讲课。一位资深教官反驳他：学员完成漂亮的飞行动作，受到表扬后，下次就差了；动作做坏了，挨骂后，下次反而进步。卡尼曼发现，教官专挑特别好或特别坏的表现作出反应。学员下一次只要回到平常水平，教官眼里就成了表扬使人退步、批评使人进步。同一个学员，连能力都不必改变，就能让教官反复得到这套结论。

为什么成立

极端成绩把稳定水平和偶然波动一起选了出来

一个平时考 70 分的人，有次考了 90 分，其中一部分来自恰好考到熟悉的题。题目重新抽一遍，这份额外优势就难以照搬。回归均值说的是：按极端成绩挑出的对象，再测一次，平均结果会更接近原本的常态。

极端筛选是关键。若把成绩拆成稳定水平与随机波动，挑最高分时，两部分都会被挑高；挑最低分时，两部分都会被挑低。稳定水平可以延续，偶然波动却不会原样延续。两次表现越难重复，回归就越明显。

下一次的预测要缩小这一次的偏离

在两次测量均值、标准差相同，且条件平均数呈线性关系时，有：

$E [X_{2} ∣ X_{1} = x] = μ + ρ (x - μ)$

这里， $μ$ 是可比人群的平均成绩， $ρ$ 是两次成绩的相关系数。白话说，预测下一次时，只保留这次偏离均值的 $ρ$ 倍。若平均分是 70，两次成绩的相关系数是 0.5，首次考 90 的那组人，第二次平均预测为 80。这里预测的是这一组人的平均成绩，组内仍会有人考得更高。

表扬和批评恰好站在回落与回升之前

表扬常跟在超常发挥之后，批评常跟在异常失误之后。即使反馈毫无效果，随后也会出现平均回落或回升。判断反馈是否有效，要比较起点同样极端、却接受不同反馈的人。 只看接受反馈者的前后变化，会把自然回归算成干预的功劳或过错。

出处

回归均值属于数学与统计，源于弗朗西斯·高尔顿的遗传研究。他在 1885 年报告、1886 年发表《遗传身高向平庸回归》。父母身高极端的家庭，其成年子女的平均身高更接近人群均值，这是经典证据。后来卡尼曼用飞行教官的经历说明，人会把这种统计现象误读成奖惩的效果。

换个领域看

体育

开季手感会降温

赛季初的极端打击率，不宜直接当成整季水平。1970 年，美国棒球大联盟球员克莱门特前 45 次打数的打击率为 40%，余下赛季为 34.6%；阿尔维斯则从 15.6% 升到 20%。埃弗龙与莫里斯把这些数据用于经典研究：高端回落，低端回升，克莱门特仍保持着高水平。

商业

别拿旺月定指标

按最好一个月定销售指标，会把一次性订单写成长期要求。一家门店平时每月卖 100 万元，年底接到大客户订单，冲到 160 万元。经理据此把次月指标定为 160 万元，门店后来卖了 110 万元，反而被认定退步。定目标时，把那笔额外订单单列，再看能重复取得的销售额。

投资

冠军收益要打折

仅凭一年冠军成绩选基金，会把那年特别顺的行情带进未来预测。一位投资者按年度收益榜挑基金，冠军恰好重仓当年暴涨的行业。预测下一年时，他应把这次领先幅度向同类基金的长期水平收回，而不是原样延长收益曲线；基金跨不同市场阶段反复领先，才更支持保留较大的领先幅度。

遇事时问自己

我关注这个人或这次结果，是不是因为它刚好特别好或特别坏？
这次极端表现里，哪些条件下次还能重复，哪些只是临时出现？
与它真正可比的人或时期，平常表现是什么水平？
如果我什么都不做，下一次是否也会朝常态移动？
有没有起点同样极端、却没接受这项干预的人，可以用来比较？

边界与误用

回归均值适用于可比条件下、夹杂不能完全重复的波动的测量。更换工艺、持续训练或行业衰退改变了稳定水平，旧均值就失去参照价值。参照还必须选对：优秀球员的正常水平高于普通人，不能把他拉向所有人的平均数。回归均值不是欠账补偿。 连续失败不会积攒下一次成功的机会，跌得多的股票也不会因此必然反弹。它描述极端筛选之后的条件平均变化，既不保证单个对象回归，也不规定回归需要多久。

练一练

支付平台的值班工程师每天记录各台服务器的响应时间。周一，他挑出当天最慢的20台，统一调整缓存参数。周二，这批服务器的平均响应时间缩短了30%。两天没有更换硬件，但各台服务器收到的请求量和请求类型都有波动。

哪种做法最能判断缓存调整是否有效？

一名急诊护士想缩短骑车上早班的时间。她在八个工作日的同一时刻出发，把家到医院的八条路线各骑了一次。最快路线比八次用时的平均值少6分钟，她准备以后固定走这条路。各路线的长期用时尚未测过，红灯等待和路口拥堵每天都有变化。

预测这条路线今后的平均用时，哪种判断最站得住？

镇供水站过去十年一直监测上游河水，污染物浓度长期偏高。唯一排放这种污染物的电镀厂永久关闭后，污染河段完成清理。随后三个月，多处监测点的浓度持续处于低位。供水站复核报告时，有人提出：“最近低得反常，预测明年的浓度还是应该靠近过去十年的平均值。”

对明年的浓度，哪种判断最站得住？