大数定律与小样本Law of Large Numbers

独立、同分布的样本越多，比例越稳定；小样本更容易出现极端比例。

一枚接近公平的硬币，也能在短短几次投掷里显得很偏。1940 年，德国占领丹麦期间，南非数学家约翰·克里奇在丹麦开始投硬币，逐次记录结果。前十次里，正面出现了四次，比例只有四成。他没有停下来宣布硬币偏向反面，而是继续投。累计到一万次，正面共出现五千零六十七次，占 50.67%。同一枚硬币，少量记录能画出鲜明的偏向，大量记录却让比例贴近了一半。

为什么成立

每次结果在小样本里占的分量更大

投十次硬币，多一个正面就改变十个百分点；投一万次，多一个正面只改变 0.01 个百分点。小样本里的少数意外，足以把比例推得很远。对公平硬币，十次全是正面的概率是 $1/1024$ ；一百次全是正面的概率则是 $1/ 2^{100}$ 。

独立重复会压低比例的波动

设每次出现正面的概率固定为 $p$ ，各次投掷相互独立。投掷 $n$ 次后，正面比例记为 $p^$ ，它的标准差是：

$SD (p^) = \frac{p ( 1 - p )}{n}$

白话说，样本量扩大四倍，比例的典型波动才缩小一半。公平硬币投一百次，比例的标准差是五个百分点；投一万次，降到半个百分点。正面次数本身仍会波动，但总次数增长得更快，偏差占整体的份额就缩小了。

大样本压低偏离的概率

大数定律说：对任何事先选定的误差范围，样本越多，比例落在范围之外的概率越趋近于零。因此，增加样本能让估计更可靠，却不保证每增加一次，结果就离真实比例更近。

小样本更容易同时占据最好和最坏的位置。若一批门店的真实成交率相同，接待人数最少的门店，更容易报出接近零或接近百分之百的成交率。只看排行榜两端，会把样本量造成的波动读成门店之间的差距。

出处

它来自概率论。雅各布·伯努利在 1713 年出版的《猜度术》中，证明了独立重复试验的成功比例会趋近固定概率；泊松在 1837 年使用“大数定律”这一名称。克里奇的一万次投币记录是经典演示，数学证明才保证结论不限于这枚硬币。

换个领域看

商业

成交率先看人数

十名访客中的两笔订单，足以让店主看到 20% 的成交率。另一家店接待一千名访客，成交一百八十笔，比例是 18%。前一家只要少一笔订单，就会跌到 10%。店主比较经营表现时，应把成交人数和访客人数一起摆出来，并给小店积累更多同类客流的时间。

公共卫生

让偶然病例变轻

1954 年，美国索尔克脊髓灰质炎疫苗试验用大量儿童的记录评估保护效果。随机安慰剂对照部分约有四十万名儿童参加。疾病并非人人都会得：若每组只有几十人，多一个病例就足以大幅改变患病率。大批记录让少数偶然病例在各组比例中占的分量更小。

个人生活

五星先数评价

只有三条评价的五星餐馆，评分很容易被下一位顾客改写。三位顾客都给五星，平均就是五分；第四位给一星，平均立刻降到四分。一家有三百条评价的餐馆，新增一条一星评价对平均分的影响小得多。挑餐馆时，把评价数量和评分一起看，才知道这个分数有多容易晃动。

遇事时问自己

这个亮眼或糟糕的比例，背后到底有多少次观察？
这些记录来自多少个独立的人或事件，有没有把重复记录当成新样本？
样本覆盖了我要判断的人群吗，还是只覆盖了最容易收集的一群人？
收集记录期间，规则、对象或成功概率有没有改变？
多一个成功或失败就会怎样改变比例，我能接受这么大的波动吗？

边界与误用

数量只有在样本能代表目标、各次观察足够独立、生成规律稳定时，才有助于逼近目标比例。同一人的一千次点击，不能当成一千名独立顾客；改版前后的成交记录混在一起，会估出两个时期的混合比例。抽样偏差也不会被数量洗掉：1936 年美国《文学摘要》收到约二百四十万份回信，仍错判总统选举，抽样名单和回信者都偏离了选民整体。最常见的误用是等着下一次结果补偿前面的偏差：公平硬币连出十次正面，下次正面的概率仍是二分之一。

练一练

支付系统的测试工程师用随机生成的独立请求测试接口。接口版本和请求生成规则保持不变。过去每轮测试100次，现在改为每轮400次，再比较各轮的失败比例。

关于各轮失败比例的波动，哪种判断最站得住？

基金经理向投资委员会展示了一套策略的600笔交易，盈利比例为72%。这些交易集中在六次央行议息公布后，每次同时买入约100只股票。同一次公布后的股票大多同涨同跌。基金经理据此把72%写成了策略未来的预期胜率。

这一步判断的主要问题在哪里？

家庭聚会玩抽奖游戏。袋里有五枚大小相同的筹码，其中一枚标着奖品。你每次充分混匀后抽一枚，记录结果，再把筹码放回。连续十次没抽中奖品后，你准备再抽一次。

对下一次抽中奖品的机会，哪种判断最站得住？