幂律与长尾Power Laws

幂律描述固定的缩放关系，集中程度取决于指数，二八只是一个特例。

一笔大赢家，能决定一家风投机构多年的成绩。2014 年 2 月，Facebook 在加州门洛帕克宣布收购 WhatsApp。现金与股票合计价值 160 亿美元，另给员工价值 30 亿美元的限制性股票。红杉资本的吉姆·戈茨从 2011 年起投资这家公司，累计投入约 6000 万美元。收购公布时，红杉的持股估值约为 30 亿美元，达到投入的约 50 倍。这样的赢家足以抵消许多项目的亏损。只数投中了几家、投错了几家，看不出谁真正撑起了回报。

为什么成立

门槛翻倍，数量按固定比例下降

若一千座城镇超过一万人口，五百座超过两万，二百五十座超过四万，门槛翻倍，数量就减半。这种比例若在一段规模范围内保持，就呈现幂律关系。若幂律只在尾部的一段范围内近似成立，可写成：

$P (X \geq x ∣ X \geq x_{m i n}) \approx (\frac{x}{x _{m i n}})^{- β}, x_{m i n} \leq x \leq x_{m a x}, β > 0$

$X$ 是规模， $x_{m i n}$ 与 $x_{m a x}$ 限定适用范围。白话说，只看达到起点的那些项，门槛乘以 $k$ ，超过门槛的比例就约乘以 $k^{- β}$ 。上例中， $β = 1$ 。指数越小，数量下降越慢；少数大项占总量多少，也随指数改变。

按已有规模分配机会，能把差距越拉越大

持续加入新节点的网络，可以通过“优先连接”形成幂律。若新连接选择某节点的概率，正比于它已有的连接数，热门节点就会得到更多连接。老节点不断积累，新节点不断进入，最后形成少数大节点与众多小节点。不同领域还存在其他生成路径，观察到幂律不等于找到成因。

长尾能否撑起生意，要看众多小项加起来有多大

按销量排名，畅销书站在头部，众多冷门书排成长尾。统计学的尾部指罕见的大销量，商业长尾指排名末端的小销量。两者看的方向不同。二八只描述一种集中比例，幂律没有规定头部必须占八成。冷门项再多，也要把销量加起来、扣掉服务成本，才知道值不值得经营。

出处

幂律的经典证据来自收入统计。帕累托在 1896 年发表的研究中指出，收入门槛越高，超过门槛的人数按幂次下降。齐普夫在 1949 年系统讨论词频与城市规模的排名规律。2004 年，克里斯·安德森用“长尾”描述众多冷门商品聚合起来的商业价值。

换个领域看

城市规划

大城承接大需求

部分城市体系接近齐普夫规律：第二大城市人口约为第一大的一半，第十大约为十分之一。少数大城市因此承接大量居民。规划者先按统一口径统计人口，再看人口流入，把交通和医院配到需求集中的地方。每城平均分预算，会让大城市的服务跟不上居民。

图书商业

旧书找到新读者

推荐系统能把冷门书送到愿意购买的人面前。安德森在 2004 年报道，亚马逊向《Into Thin Air》的读者推荐《Touching the Void》。后者是乔·辛普森较早出版的登山回忆录，这次推荐带动它重新热卖。书店由此多了一条经营路径：用较低的匹配成本，把分散的阅读兴趣汇成销量。

技术运营

遇事时问自己

把项目按贡献排序，前几个占了总量多少，拿掉它们后还剩多少？
把规模门槛连续翻倍，超过门槛的数量是否按近似固定比例下降？
单项结果能拉开几十倍差距，还是很快就会碰到容量上限？
我能扩大已知头部的贡献，还是要通过多次尝试寻找新的头部？
把冷门项的收入加起来，能否覆盖展示、匹配、库存和交付成本？

边界与误用

少数占大头，不等于数据服从幂律。对数正态分布也能产生高度集中的结果。判断幂律，要估计起点与指数，再比较其他分布的拟合。身高围绕典型值波动，不宜套用这种推演。有硬上限的规模，也只能在有限范围内近似幂律。城市数据要统一行政区或都市圈口径。最常见的误用，是把二八当成固定配额，把今天的头部当成明天的赢家。幂律描述大小如何分布，不能替你指出下一家成功的企业。

练一练

一家软件公司统计客户存储量。至少用到10 GB的有3200家，至少20 GB的有800家，至少40 GB的有200家，至少80 GB的有50家。产品经理准备调整套餐。

哪种判断最站得住？

一家配餐店准备增加150种冷门菜。预计每种每月卖4份，每份扣除食材和制作成本后剩12元。每种菜每月还需40元维护菜单和备料，新增订单另需每月1800元配送费。

按这份估算，哪种经营判断最站得住？

一所大学规定，将八成奖学金发给成绩最高的一成学生。考试满分100分，多数学生得分在75至90分之间。校报据此称，少数学生集中了八成学习能力，今后分数还会成倍领先。

这项推断最直接的问题是什么？