期望值Expected Value

把各种结果按概率加权，比较选择；一次输赢不足以判定决策好坏。

一次失败，足以让一个赛前的选择看起来愚蠢。2015年2月1日，美国格伦代尔，第49届超级碗还剩最后几十秒。海鹰队落后四分，离达阵区只有一码。主教练皮特·卡罗尔选择传球，四分卫拉塞尔·威尔逊出手，却被爱国者队的马尔科姆·巴特勒截球，冠军就此易手。赛后，批评集中在“为什么不跑球”。但评判这个选择，得回到出手之前：两种打法各有多大机会得分，又各有多大机会丢球？截球告诉我们这次发生了什么，却没有给出两种打法的完整胜算。

为什么成立

每种结果都要按发生概率计入

一份有六成机会赚100元、四成机会亏100元的合同，期望净收益是20元。赚钱这一项贡献60元，亏钱这一项贡献负40元；两项相加，就是20元。

数学与统计把这种按概率加权的平均结果称为期望值：

$E [X] = i \sum p_{i} x_{i}$

白话说，把每种结果乘以它发生的概率，再全部加起来。这里的 $p_{i}$ 是概率， $x_{i}$ 是结果。各项结果要互不重叠、涵盖所有情形，概率之和等于1。比较金额时，还要统一期限，并扣掉成本。

概率决定每种结果占多大分量

上面的合同有20元期望收益，意思是盈利与亏损按六比四加权后的平均值为20元。这不是一次签约会拿到的钱：签完只能赚100元或亏100元。赚得多但机会小，与赚得少但机会大，都能放进同一把尺子里比较。

决策用出手前的信息评判

如果另一份合同保证赚10元，在能承受亏损、且以期望净收益为目标时，第一份更值得选。选了第一份却亏钱，不能单凭这次亏损推翻决策；碰巧赚了钱，也不能证明概率估得对。复盘要检查当时的概率依据、遗漏的结果和成本，而不是把已经发生的结果当成事前必然。

出处

期望值来自概率论，早期用于解决赌博中的公平分配。1654年，帕斯卡与费马通信讨论赌局提前结束时如何分奖金：按双方此后获胜的概率分配赌资。1657年，惠更斯在《论赌博中的计算》中系统阐述这类算法，成为概率论的早期基础。

换个领域看

投资

高息也要算违约

高利息只有收得到，才会成为收益。2008年金融危机期间，巴菲特旗下伯克希尔向高盛投资50亿美元，买入年股息率10%的优先股，并获得认股权证。每年5亿美元股息很醒目，但评估这笔交易，还得把高盛违约时的损失与权证的潜在收益放进各自的概率情景里。

技术

修复先看损失

修复顺序可以按预计减少的损失排。值班工程师面对两个故障：一个每天有一成机会中断结账，发生一次损失1万元；另一个每天必定让内部报表晚到，损失200元。前者每天的期望损失是1000元。若修复耗时相同、都能消除故障，先修结账更划算。

个人生活

绕路换来准时

路线可以按平均耗时选择。赶去车站的人有两条路：近路畅通时20分钟，遇上施工则50分钟；施工概率是三成。近路的期望耗时是29分钟，绕路固定25分钟，因此绕路平均更快。若火车30分钟后开，比较还会多一项：近路有三成机会错过车，错过后的损失也要计入。

遇事时问自己

这个选择有哪些互不重叠的结果，我有没有漏掉损失最大的那一种？
每种结果的概率根据什么估出，把最没把握的概率调高或调低后，选择会改变吗？
把成本扣掉、期限统一后，各种结果按概率加总是多少？
与其他可行选择相比，哪个期望结果更好，最坏结果又是否在我的承受范围内？
复盘时，我是在检查当时的信息和推理，还是只凭最后的输赢打分？

边界与误用

期望金额适合比较能用同一尺度衡量、损失也承受得起的选择。亏掉养老钱与多赚同样金额，对生活的影响并不对称；有毁灭性后果的方案，先排除再比较平均收益。概率缺乏依据时，精确的小数只会掩盖猜测：把关键概率改成几个有依据的高低估计，检查排序是否改变。最常见的误用，是漏算失败成本，或用一次输赢给决策定性。安全、承诺和尊严等硬约束，也不能靠一笔更高的平均收益抵消。

练一练

一家出版社要翻译一份手册。甲公司报价1.2万元，包修改；乙公司报价8000元，根据同类项目记录，有三成机会需要另付1万元返工，其余情况不加钱。两家最终质量和交付日期相同。出版社付得起返工费，目标是降低平均总支出。

哪种选择理由最站得住？

投资前，林岚根据当时可核查的资料，估计一只基金一年有六成机会净赚40%，四成机会净亏30%；另一项投资一年保证净赚8%。她以平均净收益为目标，能承受亏损，选择了基金。一年后基金亏了30%，朋友说她当初就该选保证收益的那项。

哪种复盘判断最站得住？

周先生住在洪水风险区。可靠资料显示，他家每年有1%的概率严重进水，届时修复要花20万元。保险每年收费3000元，能全额承担修复费。他只有2万元应急存款，也无法借到修复款。他打算取消保险，理由是平均每年损失只有2000元。

他的推理在哪一步出了问题？