最优停止Optimal Stopping

最优停止是在继续寻找的收益与等待的代价之间，选定出手的时机。

继续寻找更平坦的落点，会消耗登月舱留给着陆的燃料。1969 年 7 月 20 日，月球静海上空，阿波罗 11 号的尼尔·阿姆斯特朗发现，自动导航正把登月舱带向布满巨石的区域。他接手操纵，飞过障碍，寻找能落脚的地方。休斯敦传来剩余燃料的倒计时，地面却没有一块标着“最佳落点”的空地。阿姆斯特朗选中一处平坦区域，让登月舱落下：多找一会儿能改善位置，也会压缩安全着陆的余地。

为什么成立

先看一批，再选第一个刷新纪录的

从依次出现的 100 人中选出最强者，经典秘书问题给出的策略是：放过前 37 人，记住其中最强的；随后选第一个超过此前所有人的。若始终没有人刷新纪录，就选最后一人。前一批帮你建立标准，后面的人提供出手机会。

这道题把选择压缩成一个明确任务：人数已知，出场顺序随机，每次能准确判断已见者的相对排名。你必须当场接受或拒绝，拒绝后无法召回，目标是选中全场第一。它让我们单独看清：观察多久，才能最大限度地提高选中第一名的概率。

观察太少和太多都会错过第一名

观察期越长，比较标准越可靠，第一名被你直接放走的机会也越大。观察期越短，第一名越有机会留在后面，你却更容易被一个较早出现的普通纪录保持者截住。

跳过前 $r$ 人后，要在第 $k$ 人处选中第一名，他得恰好在这里出现，概率为 $1/ n$ 。此前最强者还得落在观察期内，概率为 $r / (k - 1)$ ，这样你才没有提前出手。把这些位置的成功概率相加：

$P (r) = \frac{r}{n} k = r + 1 \sum n \frac{1}{k - 1}$

这个式子算的是：第一名出现在观察期之后，而且你一直等到了他，两件事同时发生的概率。

人数很大时，令 $x = r / n$ ，成功率近似为 $- x ln x$ 。它在 $x = 1/ e \approx 36.8%$ 时最大，成功率也趋近 36.8%。最优的意思是成功概率最高，仍有六成多的机会错过第一名。

出处

最优停止来自概率论与决策理论，后来进入运筹学和计算机算法。秘书问题在 1960 年经马丁·加德纳的《科学美国人》专栏广为传播；丹尼斯·林德利于 1961 年发表数学分析。37% 规则的依据是对随机排列的数学证明：计算每个观察长度的成功概率，再找出最大值。

换个领域看

商业

招聘先定出手点

候选人随机依次面试、必须当场答复时，招聘负责人可以先用一批人建立比较标准。若有 20 人，目标是选中最强者，就先放过 7 人，再录用首位超过此前所有人的候选人；始终无人超过，就选最后一人。出手条件提前写好，“再看看”便有了终点。

个人生活

租房设接受门槛

搬家期限逼近时，租客可以用月租、通勤和夜间噪声写下接受门槛。前几次看房帮助他摸清预算能买到什么，随后遇到达标且能签约的房子就停。若继续找意味着每天支付临时住宿费，省下的月租就得足以抵过这笔等待开销。

航天工程

结束恢复尝试

寻找恢复联系的办法，也有停止的一刻。2018 年火星尘暴后，NASA 的机遇号失联。团队发送了一千多次恢复指令，仍未收到回应；2019 年 2 月，NASA 宣布任务结束。可尝试的办法逐步耗尽，团队最终结束了寻找，将资源留给后续任务。

遇事时问自己

我追求的是选中全场最好，还是找到一个足够好、收益合算的选项？
还会出现多少选项，顺序由谁决定，拒绝后能否回头？
我能可靠地比较优劣吗，还是只被眼前最显眼的特点吸引？
再找一次预计能改善多少结果，又会增加多少费用和错失风险？
我能否现在写下观察期限、接受标准和最后的保底方案？

边界与误用

把恋爱人数、看房次数或投资期限机械切成 37%，会把秘书问题的答案用到另一道题上。选项总数未知、出场顺序受人操纵，或排名难以判断时，37% 的推导条件便已改变。能回头选，就保留候选名单，比较多看一次的收益与费用；只求达标，就设接受门槛；寻找要付钱，就在预期改善不足以覆盖费用时停止。投资还要比较价格与价值：一段时间内表现最好的资产，照样会贵得不值得买。

练一练

一家游戏工作室要为新作购买一段配乐。音乐节安排了 50 首未公开作品，播放顺序随机。每首播完后，工作室必须立即决定是否买下独家使用权；放过后，作者就会转卖。团队能可靠地比较已听作品，预算只够买一首，目标是买到全场最好的一首。

哪种购买策略最站得住？

一家平台按基金公司支付的推广费，依次向林女士展示 100 只基金。所有基金的资料随时可以回看，她也能分批买入、以后调整持仓。她打算跳过前 37 只，再买第一只历史收益超过此前所有基金的产品。

对这个计划，哪种判断最站得住？

周末出游前，陈先生已花三个小时查找优惠，现在能立即订到总价 900 元的合适车票。还有一个渠道可查，查完需要半小时；有 20% 的概率找到同条件的 800 元车票，否则仍买 900 元的票。现有票价会保留，查找没有其他费用，他愿意按每小时 80 元计算这半小时的时间成本。

只按这些信息，下一步怎么做最合理？