纳什均衡Nash Equilibrium

别人策略不变时，谁单独换策略都不会更好，大家便停在均衡里。

所有人一起换边能做到的事，一个司机提前做就会迎面撞上车流。1967 年 9 月 3 日，瑞典从靠左行驶改为靠右行驶。斯德哥尔摩街头，交警指挥获准上路的司机停车、换边，等到清晨五点再出发。此前，别人都靠左，你靠左才安全；此后，别人都靠右，你靠右才安全。两种安排都能维持，因为任何一个司机独自换边，都会让自己陷入危险。要从一种安排转到另一种，瑞典组织了一次全国同时行动。

为什么成立

别人怎样做，决定了你怎样做才划算

两个协作团队都用旧格式交接文件时，各花两小时整理。都换成新格式，各花一小时；只有一队换，双方都要转码，各花四小时。于是，旧格式虽然费时，却能一直留着：对方继续用旧格式，我单独换只会更累。新格式也能维持，因为谁单独换回去都会增加工作。

每个人都在回应别人，便形成了均衡

纳什均衡是一组互为最佳回应的策略。用 $s_{i}^{*}$ 表示参与者 $i$ 当前的策略， $s_{- i}^{*}$ 表示其他人的策略， $u_{i}$ 表示他的收益。均衡要求对每个人、每一种可选策略 $s_{i}$ ，都有：

$u_{i} (s_{i}^{*}, s_{- i}^{*}) \geq u_{i} (s_{i}, s_{- i}^{*})$

白话说，把其他人的策略固定住，我怎么单独换，都赚不到更多。收益可以是利润、节省的时间，也可以是安全。相等也算均衡：有人换了同样好，但没有严格改善。

单独改不了，不代表一起改不了

两个团队沿用旧格式和一起换新格式，都是均衡，但后者让每队少花一小时。均衡检验的是个人有没有偏离的好处；它不保证大家得到最好的结果。同一个博弈也能有多个均衡。

均衡也能是一套随机选择的比例

策略还可以规定每个选项的使用概率，这叫混合策略。检验时，固定的是别人随机选择的比例，比的是期望收益。在混合均衡中，一个人实际采用的各选项，期望收益相等；调整比例无法让他赚得更多。

出处

纳什均衡来自博弈论。约翰·纳什在 1950 年发表《多人博弈中的均衡点》，1951 年发表《非合作博弈》。核心数学成果是：参与者和各自可选策略都有限时，只要允许混合策略，至少存在一个均衡。他因此与另外两位学者共同获得 1994 年诺贝尔经济学奖。

换个领域看

商业

摊位挤在中间

争取顾客会让两个摊位挤向同一个位置。一条长一百米的步行街上，顾客均匀分布，只买离自己近的同款饮料；距离相同就平分。两个摊位都在中点时，各得一半顾客。任何一个独自向街头或街尾挪，都会丢掉部分顾客。分开摆能让顾客少走路，却守不住摊主各自的利益。

技术

各自选快反而慢

各自挑快线路，会留下总耗时更高的分配。四个任务同时运行：线路甲的耗时是任务数乘三秒，线路乙固定十秒。三个走甲、一个走乙时，甲各用九秒；谁换线路都会更慢，这是均衡。但各分两个时，总耗时从三十七秒降到三十二秒。路由器各自优化，和统一调度给出了不同答案。

体育

点球不能踢死

点球手固定踢一个方向，会给门将留下可利用的机会。2006 年柏林世界杯决赛，齐达内面对布冯，踢出中路勺子点球得分。这次选择把门将提前侧扑的弱点摆在了眼前。若他每次都踢中路，门将守在中间就更划算；混合均衡要求双方选择方向的比例，让对手无法通过单独调整策略提高期望收益。

遇事时问自己

谁的选择会改变我的收益，我的选择又会改变谁的收益？
把其他人的策略固定住，谁能靠单独换策略得到更多？
大家迟迟不变，是改变没有好处，还是没有看见机会、缺少权限或承担不起成本？
有没有另一组策略，能让大家都更好，却让先单独改变的人吃亏？
改变哪项规则、成本或可选行动，能让单独改变也变得划算？

边界与误用

纳什均衡适合检查相互牵制的选择，不能凭一段时间没人行动，就认定已经均衡。人会因惯性、信息不足或无法执行而停住；收益估错，也会把仍有改善空间的局面判成均衡。存在均衡不等于人们会走到它：反复调整策略能持续循环，多个均衡也无法仅凭定义选出一个。检验时要固定别人的整套策略，包括他们遇到不同情形时如何回应；若行动有先后或信息不对称，策略就要写出这些条件。把均衡当成公平、最优或永久稳定，是最常见的误用。

练一练

两家软件公司争取同一份企业订单。甲先报价，乙看过报价再决定。乙的规则是：甲报高价，乙也报高价；甲报低价，乙就跟着报低价。双方都报高价时，甲赚80万元；甲报低价、乙报高价时，甲赚100万元；双方都报低价时，甲赚50万元。目前双方都报高价。

哪种判断最站得住？

两家基金争夺同一批套利机会，各自只能选择小规模或大规模投入。双方都小规模投入，各赚800万元；只有一家扩大规模，它赚1200万元，另一家赚400万元；双方都扩大规模，各赚600万元。数字已扣除风险和资金成本。两家目前都采用大规模投入，本期没有其他可选行动。

对当前局面，哪种判断最站得住？

一对合租室友一直在晚上八点各自启动洗衣机。电力公司上月新增了夜间优惠：把任何一台机器预约到凌晨运行，每次可省3元，另一台的费用不受影响。机器支持静音预约，衣服仍能在起床前洗好，设置也不收费。两人都没读电价通知，一个月来仍按原习惯洗衣。

哪一步用错了卡片里的检验方法？